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Quais das seguintes áreas são iguais? Por quê?

Passo 1

Analisando a primeira figura:

Diremos que u = x , assim x = u ² e d x = 2 u   d u . Isso não altera os limites das integrais, pois quando x = 0 ,   u = 0 , e quando x = 1 ,   u = 1 .

A 1 = ∫ 0 1 e x d x = ∫ 0 1 e u 2 u   d u = 2 ∫ 0 1 u   e u   d u

Passo 2

Analisando a segunda figura:

A 2 = ∫ 0 1 2 x e x d x = 2 ∫ 0 1 u   e u   d u

Passo 3

Analisando a terceira figura:

Diremos que u = se n ⁡ x , então, d u = cos ⁡ x d x . Os limites da integral não se alteram porque quando x = 0 , u = 0 , e quando x = π 2 ,   u = 1 .

A 3 = ∫ 0 π 2 e s e n ⁡ x       se n ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π 2 e s e n ⁡ x       ( 2 se n ⁡ x cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 1 e u 2 u d u = 2 ∫ 0 1 u   e u d u

Passo 4

Assim, temos que A 1 = A 2 = A 3 , todas as áreas são iguais.

Resposta

A 1 = A 2 = A 3 .

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