Enunciado

Calcule a velocidade de escape v 0 necessária para lançar um foguete de massa m para fora do campo gravitacional de um planeta com massa M e raio R . Use a Lei de Newton da Gravitação e o fato de que a energia cinética inicial de 1 2 m v 0 2 supre o trabalho necessário.

Passo 1

Bom, na realidade essa é uma questão de física, mas que usa o conceito de integral imprópria! Vamos usar a lei da gravitação de Newton e o teorema trabalho-energia (também conhecido como teorema da energia cinética). Este teorema diz que o trabalho da força resultante é igual a variação da energia cinética. Assim,

1 2 m v 2 - 1 2 m v 0 2 = ∫ F r   d r

Como queremos a velocidade de escape, isto é, a velocidade mínima que o foguete deve ter na superfície da Terra ( r = R ) para que ele escape totalmente da atração gravitacional do planeta.

Mas o que é escapar da atração gravitacional da Terra?

Significa estar tão distante da Terra que a força gravitacional se anula, ou seja, estar no “infinito”. Assim, temos que

1 2 m v 2 - 1 2 m v 0 2 = ∫ R ∞ F r   d r

Como queremos a velocidade mínima para o foguete escapar, queremos basicamente que ele chegue no infinito com velocidade nula (a energia dele será suficiente apenas para escapar da órbita da Terra). Assim, v = 0 , de modo que

- 1 2 m v 0 2 = ∫ R ∞ F r   d r

Como F r = - G M m / r 2 , o que precisamos é calcular a integral imprópria!

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral

∫ R t F r   d r = - G M m ∫ R t 1 r 2 d r

e depois fazer t → ∞ . Calculando essa integral, temos que

∫ R t F r   d r = G M m   1 r R t = G M m   1 t - 1 R

Fazendo t → ∞ , vemos que

∫ R ∞ F r   d r = - G M m R

Passo 3

Assim, como

- 1 2 m v 0 2 = ∫ R ∞ F r   d r = - G M m R

segue que

v 0 = 2 G M R

Resposta

v 0 = 2 G M R

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