Enunciado

Se f tiver valor mínimo em c , mostre que a função g ( x ) =   - f ( x ) tem um valor máximo em c .

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão pede para mostrarmos que se a função trocar de sinal, os pontos de máximo se tornam mínimos e vice versa.

Para isso, vamos precisar apenas da definição de máximos e mínimos.

Lembrando que f tem um mínimo em c se para todo x no domínio de f ocorrer f ( x ) ≥ f ( c ) .

Passo 2

Nossa hipótese é que a função tenha um mínimo em c , então temos que f ( x ) ≥ f ( c ) para todo x no domínio da função.

Por outro lado, temos que f ( x ) =   - g ( x ) , e consequentemente, f ( c ) =   - g ( c ) .

Desta forma,

f ( x ) ≥ f ( c ) ⇒   - g ( x ) ≥   - g ( c )   ⇒ g ( x ) ≤ g ( c )

Isso deve acontecer para todo x no domínio da função.

Repare que essa é exatamente a definição de máximo de uma função: provamos então que c é máximo de g .

Resposta

Demonstração.

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