Enunciado

Se r → t = t ,   t 2 , t 3 para todo os reais t , determinar todos os pontos da curva descrita por r → t nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor 4,4 , 3 . Existem alguns pontos nos quais a tangente é perpendicular a 4,4 , 3 ?

Passo 1

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

r → t = t ,   t 2 , t 3

Como queremos pegar vetores tangentes a r → , vamos derivar a expressão dessa curva. Assim,

r ' → t = 1 ,   2 t ,   3 t 2

Passo 2

Para começar, vamos encontrar os vetores tangentes que são paralelos ao 4,4 , 3 . Considere t = t 0 .

u → = 1,2 t 0 , 3 t 0 2

Como u → é paralelo ao vetor 4,4 , 3 . Isso quer dizer que u → ele é um múltiplo de 4,4 , 3 . Logo,

1,2 t 0 , 3 t 0 2 = k 4,4 , 3

Comparando o primeiro coeficiente:

1 = 4 k → k = 1 4

Olhando agora para o segundo coeficiente:

2 t 0 = 4 k

Como achamos que k = 1 4 :

2 t 0 = 4 × 1 4

Portanto,

t 0 = 1 2

Para finalizar, temos que ver se a última coordenada satisfaz o que achamos!

3 t 0 2 = 3 k

Como t 0 = 1 2 e k = 1 4 :

3 × 1 4 = 3 × 1 4

O que é verdade! Como r → t = t ,   t 2 , t 3 e t 0 = 1 / 2 :

r → 1 2 = 1 2 , 1 4 , 1 8

Assim, podemos concluir que no ponto 1 2 , 1 4 , 1 8 vetor tangente a curva é paralelo ao vetor 4,4 , 3 .

Passo 3

Agora ele nos pede para verificar se existe alguns pontos nos quais a tangente é perpendicular a 4,4 , 3 . Para isso, vamos usar que quando dois vetores são perpendiculares o seu produto escalar é nulo. Então vem comigo!

r ' → t = 1 ,   2 t ,   3 t 2

Considerando t = t 1 :

v → = 1 ,   2 t 1 ,   3 t 1 2

Fazendo o produto escalar ser zero:

1 ,   2 t 1 ,   3 t 1 2 ⋅ 4,4 , 3 = 0

Logo,

4 + 8 t 1 + 9 t 1 2 = 0

Isto é,

9 t 1 2 + 8 t 1 + 4 = 0

Opa, caímos numa equação do segundo grau! Vamos usar a formula de Bhaskara.

t 1 = - 8 ± 8 2 - 4 ⋅ 9 ⋅ 4 2 ⋅ 9

Assim,

t 1 = - 8 ± - 80 18

Como o delta deu negativo, não teremos nenhum t 1 pertencente aos reais. Logo, não existe nenhum ponto no qual o vetor tangente é perpendicular a 4,4 , 3 .

Resposta

O único vetor que é tangente a curva e paralelo ao 4,4 , 3 é o vetor 1 ,   1 , 3 4 . Além disso, não existe nenhum ponto no qual o vetor tangente é perpendicular a 4,4 , 3 .

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Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta x = t y . A haste intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 no ponto Q . Quando t varia, o vértice P do triâng
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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.