Enunciado

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

b) r → t = 2 t 3   ,   2 t ,   6 t 2 ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcular o comprimento de r → t   entre os pontos 0 e 3 .Incialmente, vamos encontrar r ' → t .

r → t = 2 t 3   ,   2 t ,   6 t 2

Derivando,

r ' → t = 3 × 2 t 2 ,   2 ,   2 × 6 t

Isto é,

r ' → t = 6 t 2 ,   2 ,   2 6 t

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 6 t 2 2 + 2 2 + 2 6 t 2

Arrumando as coisas dentro da raiz:

r ' → t = 6 t 2 2 + 2 × 2 × 6 t 2 + 2 2

Opa, mas essa expressão é conhecida, se liga só:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Viu que ta bem parecida? O a = 6 t 2 e b = 2 . Assim,

r ' → t = 6 t 2 + 2 2

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 6 t 2 + 2 d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e 3:

l = ∫ 0 3 6 t 2 + 2 d t

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Integrando:

l = 6 × t 3 3 + 2 t 0 3

Cortando esse 3 :

l = 2 t 3 + 2 t 0 3

Aplicando entre esses pontos:

l = [ 2 × 3 3 + 2 × 3 - 2 × 0 3 + 2 × 0 ]

Portanto,

l = 60

Resposta

l = 60

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →
Seja γ : a . b → R n , com derivada contínua, e tal que γ ' u ≠ 0 em a , b . Seja s : a , b → R dada por s t = ∫ a t γ ' u d u .a) Verifique que a função s = s t é inversível e seja t = t s sua invers
Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva γ t = R cos ⁡ t , R sin ⁡ t ( R0 fixo).
Reparametrize pelo comprimento de arco a curva de γ dada por: γ t = e t cos ⁡ t , e t sin ⁡ t ,t ≥ 0
Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →