Enunciado

35. ⌈- x⌉ = - ⌊x⌋ para todos os x reais? Justifique sua resposta.

Passo 1

A função piso representa o maior número inteiro menor ou igual a x . E a função teto representa o menor número inteiro maior ou igual a x . Ou seja em uma a gente arredonda o número para cima e na outra a gente arredonda o número para baixo.

Para esse caso o mais fáci é a gente montar um pedaço do gráfico que dai a gente percebe que eles sempre vão ser iguais:

Passo 2

Agora que a gente imagina que eles são iguais temos que tentar provar. Então precisamos pegar valores quaisquer para x , para poder substituir na equação e tentar chegar em uma igualdade.

Se a gente pegar um x qualquer:

n <= x <= n + 1 , n in Z

Essa inequação quer dizer que x está entre dois inteiros quaisquer.

Para esse caso:

⌊x⌋ = n

Passo 3

Já temos ⌊x⌋ , agora precisamos encontrar ⌈- x⌉ . Então vamos multiplicar a inequação de antes por - 1 , dessa forma a gente consegue ter o - x :

- n >= - x >= - n - 1

Aplicando a função teto:

⌈- x⌉ = - n

Passo 4

Então é só substituir na equação:

c

- n = - n

=> ⌈- x⌉ = - ⌊x⌋ para todo x in R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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