Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 10
Trace a curva com equações paramétricas , , . Encontre o comprimento total desta curva com precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
Chamando a curva de temos:
A curva pode ser traçada com o auxílio de um software, conforme vista abaixo:
Passo 2
Observamos, pelo traçado da curva e por suas componentes, que trata-se de uma função vetorial periódica. Analisando o período de cada uma de suas funções componentes, percebe-se que o maior deles é o da função , sendo igual à . Por isso, concluímos que a curva completa é dada para o intervalo do parâmetro igual à .
O comprimento de arco é dado pela fórmula geral:
Para a função tratada nesse exercício temos
Passo 3
Para calcular o comprimento precisaremos da derivada da curva. Assim, temos:
Obtida , podemos calcular seu módulo:
Passo 4
Obtido o módulo da derivada, substituímos o valor na fórmula do comprimento de arco:
Utilizando uma calculadora avançada ou um software é possível obter a aproximação da integral acima. Obtemos:
Resposta
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