Enunciado

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

a) Determine a taxa de variação do potencial em P ( 3,4 , 5 ) na direção do vetor v → = i ^ + j ^ - k ^

b) Em qual direção V varia mais rapidamente em P ?

c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

Passo 1

a) Antes de tudo precisamos calcular o gradiente de V que é dado por

∇ V x , y z = ∂ V ∂ x i ^ + ∂ V ∂ y j ^ + ∂ V ∂ z k ^

As derivadas parciais são dadas por

∂ V ∂ x = ∂ ∂ x 5 x 2 - 3 x y + x y z = 10 x - 3 y + y z

∂ V ∂ y = ∂ ∂ y 5 x 2 - 3 x y + x y z = - 3 x + x z

∂ V ∂ z = ∂ ∂ z 5 x 2 - 3 x y + x y z = x y

Então o gradiente é dado por

∇ V x , y , z = 10 x - 3 y + y z i ^ + - 3 x + x z j ^ + x y k ^

Passo 2

Para saber a derivada direcional temos que fazer

∇ V ⋅ v → v →

Onde temos que multiplicar o gradiente pelo vetor unitário na direção de v → , que é:

v → v → = i ^ + j ^ - k ^ 1 2 + 1 2 + - 1 2 = i ^ + j ^ - k ^ 3

Então vamos lá!

∇ V ⋅ v → v → = 10 x - 3 y + y z i ^ + - 3 x + x z j ^ + x y k ^ ⋅ 1 3 i ^ + j ^ - k ^

∇ V ⋅ v → v → = 10 x - 3 y + y z - 3 x + x z - x y 3

Como queremos saber no ponto P = ( 3,4 , 5 )

∇ V ⋅ v → v → 3,4 , 5 = 10 3 - 3 4 + 4 5 - 3 3 + 3 5 - 3 4 3

∇ V ⋅ v → v → 3,4 , 5 = 32 3

Passo 3

b) V varia mais intensamente na direção do gradiente! O nosso gradiente no ponto P é dado por

∇ V 3,4 , 5 = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^

E a direção desse vetor é dada por

u ^ = ∇ V 3,4 , 5 ∇ V 3,4 , 5 = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 38 2 + 6 2 + 12 2

u ^ = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 1624

Passo 4

c) A taxa máxima de variação de V é simplesmente dada por ∇ V 3,4 , 5

∇ V 3,4 , 5 = 38 2 + 6 2 + 12 2 = 1624

Resposta

a)

32 3

b)

u ^ = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 1624

c)

∇ V 3,4 , 5 = 1624

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