Enunciado

Trace a curva espacial e sua função curvatura κ t . Comente como a curvatura reflete a forma da curva.

r t =   t - s e n   t ,   1 - cos ⁡ t ,   4 cos ⁡ t 2 ,   0 ≤ t ≤ 8 π  

Passo 1

Vamos lembrar que a função curvatura é dada por

κ t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' t 3

E que o produto vetorial é dito

v → × u → = d e t i ^ j ^ k ^ v x v y v z u x u y u z

Passo 2

Dada a função r t , podemos dizer que

r → ' t =   1 - cos ⁡ t ,   s e n   t , - 2 sen ⁡ t 2

e

r → ' ' t = s e n   t , cos ⁡ t ,   - cos ⁡ t 2

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r → ' t × r → ' ' t = i ^ j ^ k ^ 1 - cos ⁡ t s e n   t - 2 sen ⁡ t 2 s e n   t cos ⁡ t - cos ⁡ t 2 =

= i ^ - s e n   t cos ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t sen ⁡ t 2 + j ^ - 2 cos ⁡ t 2   s e n   t + 1 - cos ⁡ t cos ⁡ t 2 + h ^ 1 - cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n 2   t

= i ^ - 2   s e n 3 x 2 + j ^ - s e n t 2   s e n   t + k ^ cos ⁡ t - 1

E tirando a normal, temos

r → ' t × r → ' ' t = 3 - 4 cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t = 2 2   s e n 2 t 2

E também temos que

r → ' t = 2 2 s e n t 2

Desta forma podemos escrever que

κ t = 1 8 s e n t 2

Passo 3

Primeiramente traçamos o gráfico de r → t × t

Em seguida temos κ t × t

As assíntotas no gráfico de (t) correspondem às bicos que vemos no gráfico de r(t). A curva espacial dobra mais bruscamente à medida que se aproxima desses bicos (principalmente na direção x ) e se curva mais gradualmente entre elas, próximo a suas interseções com o plano x y , em que t = π + 2 n π (n um inteiro). O gráfico de curvatura possui mínimos locais nesses valores de t.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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