Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 57
Uma curva chamada fólio de Descartes é definida pelas equações paramétricas
- Mostre que, se estiverem na curva, então também está; insto é, a curva é simétrica em relação à reta . Onde a curva intercepta essa reta?
- Encontre os pontos na curva onde as retas tangentes são horizontais ou verticais.
- Mostre que a reta é uma assíntota oblíqua.
- Esboce a curva.
- Mostre que a equação cartesiana dessa curva é .
- Mostre que a equação polar pode ser escrita na forma
- Encontre a área da região dentro do laço dessa curva.
- Mostre que a área do laço é a mesma que está entre a assíntota e os ramos infinitos da curva. (Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral)
Passo 1
Primeira coisa a se fazer ao olhar para esse exercício é chorar. OMG, quanta coisa.
Pronto, enxuga as lagrimas, levanta a cabeça e vamos lá!!!
Pesquise na internet e perceba que a curva chamada de fólio de Descartes indicada no livro está errada.
Passo 2
- Primeiro vamos tomar , mostrando que o ponto está em nossa curva, ou seja, ela passa pela origem.
- Estamos interessados aqui nos pontos que possuem retas tangentes horizontais.
- Primeira observação que devemos fazer é: observe que quando , temos que e . Temos também que, quando , temos e .
- Lembrando de nossas aulas de cálculo 1, devemos lembrar que, para esboçar uma curva, devemos calcular suas derivadas primeiras e segundas e analisá-las com cuidado.
- Neste item vamos partir de uma suposição e tentar chegar em uma verdade.
- Vamos tomar a equação cartesiana acima e fazer a seguinte substituição e .
- O laço do fólio de Descarte se encontra presente apenas no primeiro quadrante, desta forma temos que .
- E finalmente a última alternativa, que óbvio não seria algo simples hahaha.
Agora vamos fazer a seguinte analise. Se essa curva passa pelo ponto , ela passa para um dado , ou seja
e
enquanto deve existir um , tal que
e
Concordamos que em ambos os casos, teremos que
Isso sugere que, se fizemos uma transformação de , podemos inverter os ponto de ? Vamos ver
Isso implica que a curva é simétrica em e que todos os ponto contidos nesta curva possuem seu simétrico .
Passo 3
Olhando para o gráfico abaixo, podemos ter uma noção visual de onde estão esses pontos, entretanto iremos usar a técnica de acha-los pelo método algébrico e não geométrico apenas.
Para isso vamos simplesmente calcular a derivada de e igualá-la a zero.
Assim determinamos os pontos que que e , nos dando os pontos e .
Como mostrado no item anterior a simetria de nossa curva, podemos então concluir que os pontos que possuem retas tangentes verticais serão e . Para conferir esse resultado, basta fazer a derivada de em função de e igualar a zero.
Passo 4
Agora vamos analisar nossa função
Onde
Logo a equação é uma assíntota oblíqua.
Passo 5
Vamos primeiro calcular
e
Os pontos de mínimos e máximos são dados quando a derivada primeira vale zero, logo temos os pontos e que já aviamos calculados anteriormente.
Outra coisa é entender suas concavidades, que entre possui sua concavidade para cima e quando tem sua concavidade para baixo. Basta tomarmos quando a segunda derivada é positiva e quando ela é negativa respectivamente.
Passo 6
Tome a equação sugerida , então fazemos
Desta forma mostramos que a equação cartesiana desta curva é
Passo 7
Assim teremos
Para teremos
Uma manipulação matemática as vezes meio chata, mas ai está
Passo 8
Assim teremos
OMG
Vamos tomar assim conseguimos resumir nossa integral em
Passo 9
Vamos olhar para a área que delimitada pela curva e pela assíntota. Reparamos que o que a compões são o segundo, terceiro e quarto quadrante, na qual a área do segundo e do quarto são iguais. Observe também que a área do terceiro quadrante é .
Fica agora apenas para a gente calcular a área do segundo quadrante.
Tome a equação da assíntota e vamos tomar a parametrização utilizada no passo 7. Com isso temos
Desta forma basta fazermos
Aqui usamos um sistema de computação algébrica, chegando em
Assim teremos que a área total é dado por
Que é exatamente a área do laço.
Ps: O autor dessa resolução quase morreu durante seu trabalho haha
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)