Enunciado

Uma curva chamada fólio de Descartes é definida pelas equações paramétricas

x = 3 t 1 + t 3       y = 3 t 2 1 + t 3

  1. Mostre que, se ( a , b ) estiverem na curva, então ( b , a ) também está; insto é, a curva é simétrica em relação à reta y = x . Onde a curva intercepta essa reta?
  2. Encontre os pontos na curva onde as retas tangentes são horizontais ou verticais.
  3. Mostre que a reta y   =   - x - 1 é uma assíntota oblíqua.
  4. Esboce a curva.
  5. Mostre que a equação cartesiana dessa curva é x 3   + y 3   =   3 x y .
  6. Mostre que a equação polar pode ser escrita na forma
  7. r = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 1 + tan 3 ⁡ θ

  8. Encontre a área da região dentro do laço dessa curva.
  9. Mostre que a área do laço é a mesma que está entre a assíntota e os ramos infinitos da curva. (Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral)

Passo 1

Primeira coisa a se fazer ao olhar para esse exercício é chorar. OMG, quanta coisa.

Pronto, enxuga as lagrimas, levanta a cabeça e vamos lá!!!

Pesquise na internet e perceba que a curva chamada de fólio de Descartes indicada no livro está errada.

Passo 2

  1. Primeiro vamos tomar t = 0 , mostrando que o ponto ( 0,0 ) está em nossa curva, ou seja, ela passa pela origem.
  2. Agora vamos fazer a seguinte analise. Se essa curva passa pelo ponto ( a , b ) , ela passa para um dado t = t 1 , ou seja

    a = 3 t 1 / ( 1 + t 1 3 ) e b = 3 t 1 2 / ( 1 + t 1 3 )

    enquanto deve existir um t = t 2 , tal que

    b = 3 t 2 / ( 1 + t 2 3 ) e a = 3 t 2 2 / ( 1 + t 2 3 )

    Concordamos que em ambos os casos, teremos que

    b a = t 1 = 1 t 2

    Isso sugere que, se fizemos uma transformação de t → 1 / t , podemos inverter os ponto de a , b → b , a ? Vamos ver

    x = 3 t 1 + t 3 = 3 1 t 1 + 1 t 3 = 3 t 3 t 1 + t 3 = 3 t 2 1 + t 3 = y

    Isso implica que a curva é simétrica em y = x e que todos os ponto a , b contidos nesta curva possuem seu simétrico b , a .

    Passo 3

  3. Estamos interessados aqui nos pontos que possuem retas tangentes horizontais.
  4. Olhando para o gráfico abaixo, podemos ter uma noção visual de onde estão esses pontos, entretanto iremos usar a técnica de acha-los pelo método algébrico e não geométrico apenas.

    Para isso vamos simplesmente calcular a derivada de d y d t e igualá-la a zero.

    d y d t = 1 + t 3 6 t - 3 t 2 3 t 2 1 + t 3 2 = 6 t - 3 t 4 1 + t 3 2 = 0 → 6 t - 3 t 4 = 0

    Assim determinamos os pontos que que t = 0 e t = 2 3 , nos dando os pontos 0,0 e 2 3 , 4 3 .

    Como mostrado no item anterior a simetria de nossa curva, podemos então concluir que os pontos que possuem retas tangentes verticais serão 0,0 e 4 3 , 2 3 . Para conferir esse resultado, basta fazer a derivada de x em função de t e igualar a zero.

    Passo 4

  5. Primeira observação que devemos fazer é: observe que quando t → - 1 + , temos que x → - ∞ e y → ∞ . Temos também que, quando t → - 1 - , temos x → ∞ e y → - ∞ .
  6. Agora vamos analisar nossa função y + x + 1 = 0

    y + x + 1 = 3 t + 3 t 2 + 1 + t 3 1 + t 3 = 1 + t 3 1 + t 3 = 1 + t 2 1 + t 1 + t 3 = 1 + t 2 t 2 - t + 1

    Onde

    1 + t 2 t 2 - t + 1 → 0   i m p l i c a   t → - 1

    Logo a equação y = - x - 1 é uma assíntota oblíqua.

    Passo 5

  7. Lembrando de nossas aulas de cálculo 1, devemos lembrar que, para esboçar uma curva, devemos calcular suas derivadas primeiras e segundas e analisá-las com cuidado.
  8. Vamos primeiro calcular d y / d x

    d y d x = d y d t d x d t = t 2 - t 3 1 - 2 t 3

    e

    d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x / d t = 2 1 + t 3 4 3 1 - 2 t 3 3

    Os pontos de mínimos e máximos são dados quando a derivada primeira vale zero, logo temos os pontos 0,0 e 2 3 , 4 3 que já aviamos calculados anteriormente.

    Outra coisa é entender suas concavidades, que entre x ∈ - ∞ , 4 3 possui sua concavidade para cima e quando x ∈ 4 3 , + ∞ tem sua concavidade para baixo. Basta tomarmos quando a segunda derivada é positiva e quando ela é negativa respectivamente.

    Passo 6

  9. Neste item vamos partir de uma suposição e tentar chegar em uma verdade.
  10. Tome a equação sugerida x 3 + y 3 = 3 x y , então fazemos

    x 3 + y 3 = 3 t 1 + t 3 3 + 3 t 2 1 + t 3 3 = 27 t 3 + t 6 1 + t 3 3 = 27 t 3 1 + t 3 1 + t 3 3 = 27 t 3 1 + t 3 2

    27 t 3 1 + t 3 2 = 3 3 t 1 + t 3 3 t 2 1 + t 3 = 3 x y

    Desta forma mostramos que a equação cartesiana desta curva é x 3 + y 3 = 3 x y

    Passo 7

  11. Vamos tomar a equação cartesiana acima e fazer a seguinte substituição x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ .
  12. Assim teremos

    x 3 + y 3 = 3 x y → r 3 cos 3 ⁡ θ + r 3   s e n 3 θ = 3 r 2 cos ⁡ θ   s e n   θ

    Para r ≠ 0 teremos

    r = 3 cos ⁡ θ s e n   θ cos 3 ⁡ θ + s e n 3 θ = 1 cos 3 ⁡ θ ⋅ 3 cos ⁡ θ s e n   θ 1 + s e n 3 θ cos 3 ⁡ θ = 3 1 cos ⁡ θ s e n   θ cos ⁡ θ 1 + s e n 3 θ cos 3 ⁡ θ = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 1 + tan 3 ⁡ θ    

    Uma manipulação matemática as vezes meio chata, mas ai está

    Passo 8

  13. O laço do fólio de Descarte se encontra presente apenas no primeiro quadrante, desta forma temos que θ ∈ [ 0 , π / 2 ] .
  14. Assim teremos

    A = ∬ d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 r r   d r   d θ = ∫ 0 π 2 r 2 2   d θ = 9 2 ∫ 0 π 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 1 + tan 3 ⁡ θ 2   d θ

    OMG

    Vamos tomar u = tan ⁡ θ assim conseguimos resumir nossa integral em

    A = 9 2 ∫ 0 ∞ u 2 d u 1 + u 3 2 = lim b = ∞ ⁡ 9 2 - 1 3 1 + u 3 - 1 0 b = 3 2

    Passo 9

  15. E finalmente a última alternativa, que óbvio não seria algo simples hahaha.

Vamos olhar para a área que delimitada pela curva e pela assíntota. Reparamos que o que a compões são o segundo, terceiro e quarto quadrante, na qual a área do segundo e do quarto são iguais. Observe também que a área do terceiro quadrante é ½ .

Fica agora apenas para a gente calcular a área do segundo quadrante.

Tome a equação da assíntota y = - x - 1 e vamos tomar a parametrização utilizada no passo 7. Com isso temos

r   s e n   θ = - r cos ⁡ θ - 1 → r =   - 1 s e n   θ + cos ⁡ θ

Desta forma basta fazermos

A 2 = ∫ r 2 2   d θ = 1 2 ∫ 3 π 4 π - 1 s e n   θ + cos ⁡ θ 2 + 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 1 + tan 3 ⁡ θ 2 d θ  

Aqui usamos um sistema de computação algébrica, chegando em

A 2 = 1 2

Assim teremos que a área total é dado por

A T = 2 A 2 + A 3 = 2 1 2 + 1 2 = 3 2

Que é exatamente a área do laço.

Ps: O autor dessa resolução quase morreu durante seu trabalho haha

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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