Enunciado

Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule seu comprimento

r = cos 2 ⁡ θ 2

Passo 1

Vamos começar traçando a curva, até mesmo pra gente poder descobrir o intervalo de variação do θ .

Se fizermos 0 ≤ θ ≤ 2 π teremos:

E pronto, nossa curva já dá uma volta completa!

Passo 2

Agora vamos calcular o comprimento.

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

O intervalo de integração a gente descobriu ali no passo 1:

a = 0

b = 2 π

Os outros termos da integral vão ficar:

r = cos 2 ⁡ θ 2

r 2 = cos 4 ⁡ θ 2

d r d θ = 2 cos ⁡ θ 2 ∙ - sen ⁡ θ 2 ∙ 1 2 = - cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

d r d θ 2 = cos 2 ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ θ 2

Passo 3

Substituindo tudo na integral:

L = ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ θ 2 + cos 2 ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ θ 2   d θ

L = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ 2 ( cos 2 ⁡ θ 2 + sen 2 ⁡ θ 2 )   d θ

L = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ 2 ( 1 )   d θ

L = ∫ 0 2 π cos ⁡ θ 2   d θ

L = 2 ∫ 0 π cos ⁡ θ 2   d θ

E, como

cos ⁡ θ 2 ≥ 0

No intervalo 0 ≤ θ ≤ π , então

L = 2 × 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2   d θ

Além disso, podemos fazer

u = θ 2

L = 4 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ u   d θ

Atenção que o intervalo que era até π passa a ser até π 2 !!

L = 4 sen ⁡ u π / 2 0

L = 4 sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0

L = 4 1 - 0

L = 4

Resposta

L = 4

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