Transforme em produto: a) y = cos(a + 3b) + cos(a + 2b) + cos(a + b) + cos(a)

Passo 1

Para transformar em produto, vamos utilizar uma das fórmulas dadas anteriormente neste capítulo, como temos uma soma de cossenos, vamos utilizar:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

Diferente dos outros itens deste exercício, temos 4 parcelas somadas, então vamos utilizar a fórmula separadamente de duas em duas parcelas

Passo 2

Focando nas parcelas ( cos ⁡ a + 3 b + cos ⁡ a ), podemos admitir p = a + 3 b e q = a , vamos substituir na fórmula:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ a + 3 b + a 2 ⋅ cos ⁡ a + 3 b - ( a ) 2

cos ⁡ a + 3 b + cos ⁡ a = 2 ⋅ cos ⁡ 2 a + 3 b 2 ⋅ cos ⁡ 3 b 2

Passo 3

Agora focando nas parcelas cos ⁡ ( a + 2 b ) + cos ⁡ ( a + b ) , podemos admitir p = a + 2 b e q = a + b , substituindo na fórmula:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ a + 2 b + a + b 2 ⋅ cos ⁡ a + 2 b - a + b 2

cos ⁡ ( a + 2 b ) + cos ⁡ ( a + b ) = 2 ⋅ cos ⁡ 2 a + 3 b 2 ⋅ cos ⁡ b 2

Passo 4

Nossa expressão neste momento pode ser escrita como:

y = 2 ⋅ cos ⁡ 2 a + 3 b 2 ⋅ cos ⁡ 3 b 2 + 2 ⋅ cos ⁡ 2 a + 3 b 2 ⋅ cos ⁡ b 2

Colocando 2 ⋅ cos ⁡ 2 a + 3 b 2 em evidência, ficamos com:

y = 2 ⋅ cos ⁡ 2 a + 3 b 2 ⋅ cos ⁡ 3 b 2 + cos ⁡ b 2 Agora podemos transformar a soma cos ⁡ 3 b 2 + cos ⁡ b 2   em um produto através da fórmula dada:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

No nosso caso, p = 3 b 2 e q = b 2 , substituindo na fórmula ficamos com:

c o s ⁡ p + c o s ⁡ q = 2 ⋅ c o s ⁡ 3 b 2 + b 2 2 ⋅ c o s ⁡ 3 b 2 - b 2 2

c o s ⁡ 3 b 2 + c o s ⁡ b 2 = 2 ⋅ c o s ⁡ 2 b 2 ⋅ c o s ⁡ b 2

c o s ⁡ 3 b 2 + c o s ⁡ b 2 = 2 ⋅ c o s ⁡ b ⋅ c o s ⁡ b 2

Resposta

Como Resposta, basta escrevermos toda nossa expressão obtida, ou seja:

y = 4 ⋅ cos ⁡ 2 a + 3 b 2 ⋅ c o s ⁡ b ⋅ c o s ⁡ b 2

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