Transforme em produto: i) y = (1 + sen a) / (1 - sen a)

Passo 1

Galera, o primeiro passo chave nessa questão será escrever 1 como sendo s e n π 2 . y = 1 + s e n   a 1 - s e n   a = s e n π 2 + s e n   a s e n π 2 - s e n   a

A partir disso, a gente consegue escrever como produto essa soma de senos do numerador e essa diferença de senos no denominador.

Passo 2

Como escrever o numerador em forma de produto? Utilizando a fórmula:

s e n   p + s e n   q = 2 ⋅ s e n p + q 2 ⋅ c o s c o s   p - q 2  

no nosso caso, temos p = π 2 e q = a . 2 ⋅ s e n π 2 + a 2 ⋅ c o s c o s   π 2 - a 2   = 2 ⋅ s e n π 4 + a 2 ⋅ c o s c o s   π 4 - a 2  

Passo 3

No numerador vamos fazer algo parecido, só vamos trocar a fórmula pois aqui temos uma diferença de senos: s e n   p - s e n   q = 2 ⋅ s e n p - q 2 ⋅ c o s c o s   p + q 2  

Ou seja, vamos escrever:

2 ⋅ s e n π 2 - a 2 ⋅ c o s c o s   π 2 + a 2   = 2 ⋅ s e n π 4 - a 2 ⋅ c o s c o s   π 4 + a 2  

Passo 4

Agora vamos substituir nossa expressão com o numerador e o denominador obtidos nos passos anteriores:

y = 2 ⋅ s e n π 4 + a 2 ⋅ c o s c o s   π 4 - a 2   2 ⋅ s e n π 4 - a 2 ⋅ c o s c o s   π 4 + a 2    

Reorganizando de uma forma conveniente, podemos escrever:

y = s e n π 4 + a 2 c o s c o s   π 4 + a 2   ⋅ c o s c o s   π 4 - a 2   s e n π 4 - a 2

Podemos perceber que o primeiro fator nada mais é do que a t g   π 4 + a 2 e o segundo fator não é nada menos do que a c o t g   π 4 - a 2 .

Resposta

Então reescrevendo nosso y, ficamos com:

y = t g   π 4 + a 2 ⋅ c o t g   π 4 - a 2

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