Usando coordenadas polares, calcular:

e)   ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x

Passo 1

Temos que:

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

- 1 ≤ x ≤ 1

A representação da região de integração é dada:

Assim:

y ≤ 1 - x 2

y 2 ≤ 1 - x 2

x 2 + y 2 ≤ 1

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 1

r ≤ 1

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤   θ ≤ 2 π

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 1 r ⋅ 1 - r 2 d r = - 1 - r 2 3 2 3

Aplicando os limites:

- 0 - 1 3 = 1 3

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 1 3 d θ = θ 3

Aplicando os limites:

1 3 2 π - 0 = 2 π 3

Resposta

2 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados