Enunciado

Usando coordenadas polares, calcular:

e) int_(- 1)^1 int_(- sqrt(1 - x^2))^(sqrt(1 - x^2)) sqrt(1 - x^2 - y^2) d y d x

Passo 1

Temos que:

- sqrt(1 - x^2) <= y <= sqrt(1 - x^2)

- 1 <= x <= 1

A representação da região de integração é dada:

Assim:

y <= sqrt(1 - x^2)

y^2 <= 1 - x^2

x^2 + y^2 <= 1

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= 1

r <= 1

Desse modo, temos que:

0 <= r <= 1

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^(2 pi) int_0^1 sqrt(1 - r^2) * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^1 r * sqrt(1 - r^2) d r = - ((1 - r^2)^((3)/(2)))/(3)

Aplicando os limites:

- ((0 - 1))/(3) = (1)/(3)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) (1)/(3) d theta = (theta)/(3)

Aplicando os limites:

(1)/(3) (2 pi - 0) = (2 pi)/(3)

Resposta

(2 pi)/(3)

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