Calcular ∬ R y d x d y , sendo R a região delimitada por y = x , y = 2x e y = raiz(4 - x^2) .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

y ≤ 4 - x 2

y 2 ≤ 4 - x 2

x 2 + y 2 ≤ 4

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 4

r ≤ 2

E:

x ≤ 4 - x 2 e 2 x ≤ 4 - x 2

2 ≤ x ≤ 2 5

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

2 ≤ r cos ⁡ θ ≤ 2 5

2 ≤ 2 cos ⁡ θ ≤ 2 5

2 2 ≤ cos ⁡ θ ≤ 1 5

arccos ⁡ 2 2 ≤ θ ≤ arccos ⁡ 1 5

π 4 ≤   θ ≤ arccos ⁡ 1 5

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 2

π 4 ≤   θ ≤ arccos ⁡ 1 5

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ r sen ⁡ θ ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 2 r 2   s e n   θ d r = r 3 3 s e n   θ

Aplicando os limites:

8 - 0 3 s e n   θ = 8 3   s e n   θ  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ π 4 arccos ⁡ 1 5 8 3   s e n   θ     d θ = - 8 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

- 8 3 cos ⁡ arccos ⁡ 1 5 - cos ⁡ π 4 = - 8 3 1 5 - 2 2 =   - 8 5 15 + 4 2 3

Resposta

- 8 5 15 + 4 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados