Enunciado

Calcular ∬ R ( 36 - 4 x 2 - 9 y 2 ) d x d y , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 9 + y 2 4 = 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x = 3 u e y = 2 v

O jacobiano dessa transformação será igual a 6:

J = 3 0 0 2 = 6

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem, já que:

x 2 9 + y 2 4 = 1 → u 2 + v 2 = 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ ( 36 - 4 ⋅ 9 u 2 - 9 ⋅ 4 v 2 ) ⋅ 6 d u d v = 216 ∬ ( 1 - u 2 - v 2 ) d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos ⁡ θ ; v = r   s e n   θ ; u 2 + v 2 = r 2

Substituindo novamente. Obtemos:

216 ∬ ( 1 - r 2 ) ⋅ r   d r d θ = 216 ∬ ( r - r 3 ) ⋅ r   d r d θ

Com

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Integrando para r :

216 ∫ 0 1 ( r - r 3 ) d r = 216 r 2 2 - r 4 4

Aplicando os limites:

216 1 - 0 1 2 - 1 - 0 1 4 = 54    

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 54 d θ = 54 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 54 = 108 π  

Resposta

108 π

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