Usando coordenadas polares, calcular:

f)   ∫ 0 2 ∫ y 4 - y 2 x d x d y

Passo 1

Temos que:

y ≤ x ≤ 4 - y 2

0 ≤ y ≤ 2

A representação da região de integração é dada:

Assim:

x ≤ 4 - y 2

x 2 ≤ 4 - y 2

x 2 + y 2 ≤ 4

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 4

r ≤ 2

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤   θ ≤ π 4

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 r cos ⁡ θ ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 2 r 2 ⋅ cos ⁡ θ d r = r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

8 - 0 1 3 cos ⁡ θ = 8 3 cos ⁡ θ  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 4 8 3 cos ⁡ θ d θ = 8 3   s e n   θ

Aplicando os limites:

8 3 2 2 - 0 = 4 2 3

Resposta

4 2 3

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