Enunciado

Usando coordenadas polares, calcular:

f) int_0^(sqrt(2)) int_y^(sqrt(4 - y^2)) x d x d y

Passo 1

Temos que:

y <= x <= sqrt(4 - y^2)

0 <= y <= sqrt(2)

A representação da região de integração é dada:

Assim:

x <= sqrt(4 - y^2)

x^2 <= 4 - y^2

x^2 + y^2 <= 4

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= 4

r <= 2

Desse modo, temos que:

0 <= r <= 2

0 <= theta <= (pi)/(4)

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^((pi)/(4)) int_0^2 r cos theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^2 r^2 * cos theta d r = (r^3)/(3) cos theta

Aplicando os limites:

(8 - 0) (1)/(3) cos theta = (8)/(3) cos theta

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^((pi)/(4)) (8)/(3) cos theta d theta = (8)/(3) s e n theta

Aplicando os limites:

(8)/(3) ((sqrt(2))/(2) - 0) = (4 sqrt(2))/(3)

Resposta

(4 sqrt(2))/(3)

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