Enunciado

Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada:

1,97 3

Passo 1

A gente sabe pela fórmula (1) que se quisermos aproximar uma função, vale:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Mas precisamos escolher uma função e um x 0

Nesse caso parece uma boa ideia escolher f x = x 3 e x 0 = 2 . Fica assim:

  f x 0 =   f 2 = 2 3 = 8

Derivando...

f ' x = ( x 3 ) ' = 3 x 2    

⇒               f ' x 0 = f ' 2 = 3 ( 2 ) 2 = 1 2      

Passo 2

Substituindo esses dados na Fórmula (1):

f x = x 3   ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Como x 0 = 2

x 3   ≈ f 2 + f ' ( 2 ) ( x - 2 )

Chegamos na equação a aproxima valores de f quando x estiver próximo de 2

x 3   ≈ 8 + 1 2 ( x - 2 )

Passo 3

Fazendo x = 1,97 e colocando na expressão de aproximação:

( 1,97 ) 3   ≈ 8 + 12 ( 1,97 - 2 )

( 1,97 ) 3   ≈ 8 + 12 ( - 0,03 )

( 1,97 ) 3   ≈ 8 - 0,36

( 1,97 ) 3   ≈ 7,64

Resposta

( 1,97 ) 3   ≈ 7,64

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