Enunciado

(a) Use a Fórmula (1) para obter a aproximação linear local de 1 / x em x 0   =   2 .

(b) Use a Fórmula (2) para reescrever a aproximação obtida em (a) em termos de Δ x .

(c) Use o resultado obtido em (a) para aproximar 1 2,05 e confirme que a fórmula obtida em (b) produz o mesmo resultado.

Passo 1

(a)

A Fórmula (1) diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Aplicando ela em f x = 1 x no ponto x 0 = 2 :

f x 0 =   f 2 = 1 2

f ' x = 1 x ' = - 1 x 2                         ⇒                           f ' x 0 = f ' 2 = - 1 2 2 = - 1 4

Substituindo

f ( x ) ≈ f 2 + f ' 2 x - 2

Chegamos que a aproximação é:

f ( x ) ≈ 1 2 + - 1 4 x - 2

f x ≈ 1 2 - 1 4 x - 2

Passo 2

(b)

A Fórmula (2) diz que:

f x 0 + Δ x ≈ f x 0 + f ' x 0   Δ x

Substituindo os dados que já achamos ali em cima em f x = 1 x no ponto x 0 = 2 :

f 2 + Δ x ≈ 1 2 - 1 4   Δ x

Passo 3

(c)

Pra essa aproximação basta colocarmos x = 2 , 0 5 na equação da letra (a):

f x ≈ 1 2 - 1 4 x - 2

Substituindo x = 2,05 :

f 2,05 = 1 2,05   ≈ 1 2 - 1 4 2,05 - 2

Agora é só organizar melhor

1 2,05   ≈ 1 2 - 1 4 0,5

1 2,05   ≈ 1 2 - 1 4 1 2

1 2,05   ≈ 1 2 - 1 8 = 3 8  

1 2,05   ≈   0,375

Pelo resultado da letra (b):

f 2 + Δ x ≈ 1 2 - 1 4   Δ x

Usando que Δ x = 2,05 - 2 = 0 , 5

f 2 + 0,5 ≈ 1 2 - 1 4   0,5

f 2 , 0 5 = 1 2,05 ≈ 1 2 - 1 8 = 3 8  

1 2,05   ≈   0,375

Os resultados batem 😊

Resposta

(a) f x ≈ 1 2 - 1 4 x - 2

(b) f 2 + Δ x ≈ 1 2 - 1 4   Δ x

(c) 0,375

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