Enunciado

Use um campo de direção para fazer o gráfico da antiderivada que satisfaça F 0 = 0 .

f x = sen ⁡ x x ,       0 < x < 2 π

Passo 1

Vamos tentar esboçar um campo de direções para a função no intervalo dado, e então usar o campo para traçar a antiderivada F ( x ) . O campo de direções é feito calculando o valor da função para alguns valores de x e então fazendo pequenos segmentos de reta com a inclinação f ( x ) na reta vertical de x . Por exemplo, para x = 0 , a função não existe, mas temos lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 , então na reta vertical x = 0 fazemos vários pequenos segmentos de inclinação 1 (45°, pois 1 é a tangente de 45).

Passo 2

Vamos então calcular a função para alguns valores de 0 a 2 π :

f π 4 = sen ⁡ π 4 π 4 = 0,9

f π 2 = sen ⁡ π 2 π 2 = 0,64

f 3 π 4 = sen ⁡ 3 π 4 3 π 4 = 0,3

f π = sen ⁡ π π = 0

f 5 π 4 = sen ⁡ 5 π 4 5 π 4 = - 0,18

f 3 π 2 = sen ⁡ 3 π 2 3 π 2 = - 0,21

f 7 π 4 = sen ⁡ 7 π 4 7 π / 4 = - 0,13

f 2 π = sen ⁡ 2 π 2 π = 0

Assim conseguimos esboçar nosso campo de direções:

Passo 3

Agora usamos o campo de direções para traçar F . Começamos a partir de ( 0 ,   0 ) , e então seguimos as direções dadas pelo campo. O gráfico então fica assim:

Resposta

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