Enunciado

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x t ,   t ≥ 0 . Determine x = x t , sabendo que

e )   d 2 x d t 2 = cos ⁡ 2 t ,   v 0 = 1   e   x 0 = 0

Passo 1

Oi, Pessoal! Podemos definir a velocidade como sendo a variação da posição ao longo do tempo, ou seja,

v t = d x d t

Já a acelaração é a variação da velocidade ao longo do tempo, ou seja,

a t = d v d t = d 2 x d t 2

Note que o problema forneceu,

d 2 x d t 2 = cos ⁡ 2 t

E quer saber quem é x t . Para resolver que fazer isso, vamos ter que integrar.

Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem é a acelaração, então vamos integrar para descobrir quem é a velocidade.

Se,

a = d v d t = cos ⁡ 2 t

Então,

v t = ∫ cos ⁡ 2 t d t

Para resolver essa integral faremos uma substituição simples:

u = 2 t → d u = 2 d t

Substituindo,

1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sin ⁡ u + k

Voltando pra variável t :

v ( t ) = 1 2 sin ⁡ 2 t + k

Passo 3

Ok! Agora temos a função da velocidade:

v t = 1 2 sin ⁡ 2 t + k

Precisamos achar o valor de k . Para isso, vamos usar uma informação que o enunciado deu:

v 0 = 1

Substituindo,

v 0 = 1 2 sin ⁡ 2 0 + k = 1

Logo,

k = 1

Assim:

v t = 1 2 sin ⁡ 2 t + 1

Passo 4

Continuando! Se v t = d x d t

Então:

x t

x t = ∫ 1 2 sin ⁡ 2 t + 1 d t

Vamos usar, novamente, a substituição u = 2 t → d u = 2 d t

∫ 1 2 sin ⁡ 2 t + 1 d t = 1 2 ∫ 1 2 sin ⁡ u + 1 d u = 1 2 - 1 2 cos ⁡ u + u + c

Voltando pra variável t :

= 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 t + 2 t + c = - 1 4 cos ⁡ 2 t + t + c

Assim:

x t = - 1 4 cos ⁡ 2 t + t + c

Agora vamos achar c !

Passo 5

O enunciado disse que, x 0 = 0

Substituindo em x t = - 1 4 cos ⁡ 2 t + t + c

Ficamos com,

x 0 = - 1 4 cos ⁡ 2 0 + 0 + c = 0

Logo,

c = 1 4

Então a equação fica assim,

x t = - 1 4 cos ⁡ 2 t + t + + 1 4

Resposta

x t = - 1 4 cos ⁡ 2 t + t + + 1 4

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