Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação corretas até a sexta casa decimal.

cos ⁡ x = x

Passo 1

Queremos encontrar as raízes da função:

f x = cos ⁡ x - x

Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Temos:

f x = cos ⁡ x - x

f ' x = - sen ⁡ x - 1 2 x

Então a fórmula fica:

x n + 1 = x n + cos ⁡ x n - x n sen ⁡ x n + 1 2 x n

Agora basta escolher uma aproximação inicial adequada, e então aplicar a fórmula até os resultados não diferirem na sexta casa decimal.

Passo 2

Para escolher o valor inicial olhamos um esboço das funções cos ⁡ x e x .

Há uma raíz entre 0 e 1, então x 1 = 1 é uma boa aproximação inicial.

Passo 3

Então calculamos as próximas aproximações:

x 2 = 1 + cos ⁡ 1 - 1 sen ⁡ 1 + 1 2 1 = 0.99970566

x 3 = 0.99970566 + cos ⁡ 0.99970566 - 0.99970566 sen ⁡ 0.99970566 + 1 2 0.99970566 = 0.99969593

x 4 = 0.99969593 + cos ⁡ 0.99969593 - 0.99969593 sen ⁡ 0.99969593 + 1 2 0.99969593 = 0.99969560

Como x 3 e x 4 não diferem na sexta casa decimal:

x = 0,999695

Resposta

x = 0,999695

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Ache d y para: y = 3 x x 2 + 2
Ache d y para: y = 3 x 2 - 2 x + 1 3
Ache d y para: y = 4 - x 2
Ache para os valores dados a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y . y = x 2 - 3 x ;x = 2 ; Δ x = 0,03
Ache d y para: y = x 2 2 x + 3 3