Enunciado

Use um CAS para encontrar a área exata da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. E i x o   y em 1 ≤ y ≤ 15 .

x = 16 - y

Passo 1

A área da superfície de uma curva pode sere obtida utilizando uma fórmula geral:

S = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Sabendo que :

f y = 16 - y

f ' y = 1 2 16 - y

Aplicando na fórmula da superfície, temos:

S = 2 π ∫ 0 15 16 - y 1 + 1 2 16 - y 2 d y

Reorganizando temos:

S = 2 π ∫ 0 15 16 - y 1 + 1 2 16 - y 2 d y

S = 2 π ∫ 0 15 - 4 y + 65 2 d y

Por substituição u = - 4 y + 65 e d u = - 4 d y em 65 ≤ u ≤ 5 :

S = 2 π ∫ 5 6 5 - 1 2 u 4 d y

S = 2 π 1 12 u 3 / 2   5 65

S = π 65 65 - 5 5 6

Resposta

S = π 65 65 - 5 5 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , ab É girada em torno do eixo x para formar uma superfície chamada elipsoide ou esferoide prolato. Calcule a área da superfície desse elipsoide .Se a elipse da parte (a
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . y = 1 + 4 x ,1 ≤ x ≤ 5
Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y. y = xe - x , 1 ≤ x ≤ 3
Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y. x = y - y 2
Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y. y = a r c t gx , 0 ≤ x ≤ 1