Enunciado

Use a definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite.

f x = 2 x x 2 + 1   ,   1 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma expressão para a área sob o gráfico da função f x = 2 x x 2 + 1 como um limite, no intervalo [ 1 ,   3 ] , usando a definição 2 .

A definição 2 nos diz que:

A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡   R n =     l i m n → ∞   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + ⋯ + f x n Δ x    

Então, A = l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x , onde Δ x = b - a n .

Sendo assim, vamos substituir os dados da função na fórmula do somatório e estimar a área sob o gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Como o nosso intervalo é 1 ≤ x ≤ 3 , temos a = 1 e b = 3 . Dessa forma, vamos ter:

Δ x = 3 - 1 n = 2 n

Além disso, x i = a + i Δ x , então teremos:

x i = 1 + 2 i n

Agora aplicando x i em f x = 2 x x 2 + 1 , temos:

f x i = 2 1 + 2 i n 1 + 2 i n 2 + 1

Então, substituindo na fórmula do somatório, junto com o Δ x , temos:

    l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x =   l i m n → ∞     ∑ i = 0 n 2 1 + 2 i n 1 + 2 i n 2 + 1 ⋅ 2 n

E encontramos a expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Como não precisa calcular o limite, essa é a nossa resposta final.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = l i m n → ∞     ∑ i = 0 n 2 1 + 2 i n 1 + 2 i n 2 + 1 ⋅ 2 n

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