Enunciado

Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.

f x = x + x - 4

4 , ∞ .

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = x + x - 4

No intervalo:

[ 4 , ∞ )

Para que a função seja continua, devemos ter:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Isso é, o limite da função e a imagem da função deve ser o mesmo no ponto dado.

Passo 2

Começaremos o exercício analisando o limite de f para a > 4 , sendo assim:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ x + x - 4

Pela propriedade da soma de limites e da potenciação, podemos reescrever esse limite como:

lim x → a ⁡ x + lim x → a ⁡ x - lim x → a ⁡ 4

Agora podemos substituir o valor de x na expressão, com isso, temos:

lim x → a ⁡ f ( x ) = a + a - 4

Agora iremos calcular o valor da função no ponto a :

f a = a + a - 4

Como o valor do limite no ponto a é igual ao valor da função calculada em a , então f é contínua em a para qualquer a no intervalo ( 4 , ∞ ) .

Passo 3

Agora iremos calcular o limite pela direita de 4 de f ( x )

lim x → 4 + ⁡ f x = lim x → 4 + ⁡ x + x - 4 = lim x → 4 + ⁡ x + lim x → 4 + ⁡ x - lim x → 4 + ⁡ 4

Substituindo o valor de x , temos:

lim x → 4 + ⁡ f x = 4 + + 4 + - 4 = 4

Agora iremos calcular o valor de f no ponto x = 4 :

f 4 = 4 + 4 - 4 = 4

Logo, f é contínua pela direita no ponto 4. Com isso e com a informação obtida no passo 2, f é contínua em [ 4 , ∞ ) .

Resposta

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