Enunciado

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x^3 + y^3 = 18 x y

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x^3 + y^3]^' = [ 18 x y ] '

Aplicando a regra do produto, temos:

[x^3]^' + [y^3]^' = 18 * ([x]^' y + x [y]^')

3 x^2 + 3 y^2 * (d y)/(d x) = 18 * (y + x * (d y)/(d x))

Reorganizando,

(3 y^2 - 18 x) (d y)/(d x) = 18 y - 3 x^2

(d y)/(d x) = (18 y - 3 x^2)/(3 y^2 - 18 x)

Resposta

(d y)/(d x) = (18 y - 3 x^2)/(3 y^2 - 18 x)

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