Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

x^3 + y^3 = 18xy

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

x 3 + y 3 ' = [ 18 x y ] '

Aplicando a regra do produto, temos:

x 3 ' + y 3 ' = 18 ⋅ x ' y + x y '

3 x 2 + 3 y 2 ⋅ d y d x = 18 ⋅ y + x ⋅ d y d x

Reorganizando,

3 y 2 - 18 x d y d x = 18 y - 3 x 2

d y d x = 18 y - 3 x 2 3 y 2 - 18 x

Resposta

d y d x = 18 y - 3 x 2 3 y 2 - 18 x

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