Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 3.7 - Ex. 7

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desse livro

Use a derivação implícita para determinar d y / d x em

y 2 = x - 1 x + 1

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

y 2 ' = [ x - 1 x + 1 ] '

Aplicando a regra do quociente, temos:

2 y ⋅ d y d x = x - 1 ' x + 1 - ( x - 1 ) [ x + 1 ] ' x + 1 2

2 y ⋅ d y d x = x + 1 - ( x - 1 ) x + 1 2

2 y ⋅ d y d x = 2 x + 1 2

d y d x = 1 y x + 1 2

Resposta

d y d x = 1 y x + 1 2

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