Enunciado

41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

42. x = y 2 + z 2 + 1 ,   3 ,   1 ,   - 1

Passo 1

a) Para encontrarmos uma equação do plano tangente, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

F x x o ,   y o ,   z o x - x o + F y x o ,   y o ,   z o y - y o + F z x o ,   y o ,   z o z - z o = 0

No qual ( x o ,   y o ,   z o ) é o ponto que nos foi dado e F x ,   F y ,   F z são as derivadas parciais que devemos encontrar. Descobrindo quem são essas derivadas parciais no ponto que nos foi dado:

F x ,   y ,   z = y 2 + z 2 - x + 1

F x = - 1 ⇒ F x 3 ,   1 ,   - 1 = - 1

F y = 2 y ⇒ F y 3 ,   1 ,   - 1 = 2.1 = 2

F z = 2 z ⇒ F z 3 ,   1 ,   - 1 = 2 . - 1 = - 2

Passo 2

Tudo bem, agora que descobrimos as derivadas parciais no ponto vamos substituir os valores na expressão do passo 1, saca só:

- 1 . x - 3 + 2 . y - 1 - 2 . z + 1 = 0

- x + 3 + 2 y - 2 - 2 z - 2 = 0

∴ 2 y - 2 z - x = 1

Que é a equação do plano tangente!

Passo 3

b) Já para encontrarmos uma equação da reta normal, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

x - x o F x x o ,   y o ,   z o = y - y o F y x o ,   y o ,   z o = z - z o F z x o ,   y o ,   z o

Como já calculamos tudo nos passos anteriores, fica tranquilão determinar essa equação da reta normal, se liga:

x - 3 - 1 = y - 1 2 = z + 1 - 2

E está aí a equação da reta normal!

Resposta

a) 2 y - 2 z - x = 1

b) x - 3 - 1 = y - 1 2 = z + 1 - 2

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