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Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = x 2 + 1 x 2 - 1 4

Passo 1

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 1 4

Usando a propriedade do logaritmo do quociente

ln ⁡ y = 1 4 ⋅ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) - ln ⁡ ( x 2 - 1 )

Passo 2

Agora, derivando usando a regra da cadeia e a propriedade da derivada da soma, ficamos com

1 y ⋅ y ' = 1 4 ⋅ 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x - 1 x 2 - 1 ⋅ 2 x

Trabalhando a equação algebricamente

1 y ⋅ y ' = 1 4 ⋅ 2 x x 2 + 1 - 2 x x 2 - 1

1 y ⋅ y ' = 1 4 2 x ⋅ x 2 - 1 - 2 x ⋅ x 2 + 1 x 2 + 1 ⋅ x 2 - 1

1 y ⋅ y ' = 2 x 4 x 2 - 1 - x 2 - 1 x 4 - 1

1 y ⋅ y ' = x 2 - 2 x 4 - 1

1 y ⋅ y ' = - x x 4 - 1

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ - x x 4 - 1

Passo 3

Agora, basta substituirmos y , então

y ' = x 2 + 1 x 2 - 1 4 ⋅ - x x 4 - 1

Resposta

y ' = x 2 + 1 x 2 - 1 4 ⋅ - x x 4 - 1

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