Enunciado

Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.

y = x cos ⁡ x  

Passo 1

Fala galera, nessa questão temos a seguinte função

y = x cos ⁡ x

E para resolve-la vamos usar a derivada logarítmica.

Mas como faz isso?Basicamente, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação.

E depois vamos derivar implicitamente para encontrar o valor de y ' .(Aí não pode esquecer, quando deriva implicitamente sempre que derivar em y tem que multiplicar por y ' .)

Outra ideia que vai ajudar a gente aqui é saber as propriedades de logaritmos. Aqui vamos usar a propriedade do “peteleco”:

ln ⁡ A n = n ln ⁡ A

Passo 2

Tirando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos que:

ln ⁡ y = ln ⁡ x cos ⁡ x

Usando a propriedade dopeteleco temos que:

ln ⁡ y = cos ⁡ x ln ⁡ x

Agora, vamos derivar implicitamente. Sendo que no termo da direita, vou utilizar a regra do produto para as derivadas, afinal temos a derivada da multiplicação de duas funções.

1 y y ' = cos ⁡ x ⋅ 1 x + ln ⁡ x ⋅ ( - sen ⁡ x )

E então,

y ' = y cos ⁡ x x - ln ⁡ x sen ⁡ x

Por fim, vou substituir a expressão que tínhamos para y e assim obter y ' em função apenas de x .

y ' = x cos ⁡ x cos ⁡ x x - ln ⁡ x sen ⁡ x

Resposta

y ' = x cos ⁡ x cos ⁡ x x - ln ⁡ x sen ⁡ x

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