Enunciado

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Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = tan ⁡ x 1 x

Passo 1

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ tan ⁡ x 1 x

ln ⁡ y = 1 x ⋅ ln ⁡ tan ⁡ x

ln ⁡ y = ln ⁡ tan ⁡ x x

Passo 2

Agora, derivando e usando a regra da cadeia e a regra do quociente, ficamos com

1 y ⋅ y ' = 1 tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x ⋅ x - ln ⁡ tan ⁡ x ⋅ 1 x 2

1 y ⋅ y ' = x ⋅ sec 2 ⁡ x tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

1 y ⋅ y ' = x ⋅ sec 2 ⁡ x x 2 ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2 = sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

Passo 3

Agora, basta substituirmos y , então

y ' = tan ⁡ x 1 x ⋅ sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

Resposta

y ' = tan ⁡ x 1 x ⋅ sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

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