Enunciado

Use a desigualdade s e n   x ≤ x , que é válida para x ≥ 0 , para determinar um limitante superior para o valor de ∫ 0 1 s e n   x d x .

Passo 1

Então pessoal, se s e n   x   ≤ x , isso implica que:

s e n   x - x ≤ 0

Claro, assim como o enunciado diz, isso só é válido para x ≥ 0 , ok? Integrando no intervalo dado pela questão, teremos:

∫ 0 1 ( s e n   x - x ) d x ≤ 0

Passo 2

Agora que chegamos em uma desigualdade, que é o que queríamos, podemos reescrever essa integral da seguinte forma:

∫ 0 1 s e n   x d x - ∫ 0 1 x d x ≤ 0

∫ 0 1 s e n   x d x ≤ ∫ 0 1 x d x

∫ 0 1 s e n   x d x ≤ 1 2 2 - 0

∴ ∫ 0 1 s e n   x d x ≤ 1 2

Portanto, é possível concluir que o limite superior para o valor da integral supracitada é 1 2 .

Resposta

L i m i t e   s u p e r i o r = 1 2

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