Enunciado

61. a) Use duas vezes a Regra do Produto para demonstrar que, se f , g e h forem deriváveis, então f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h ' .

b) Fazendo f = g = h na parte a), mostre que

d d x f x 3 = 3 f x 2 f ' x .

c) Use a parte b) para derivar y = e 3 x .

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom essa quetão ter três itens diferente, onde cada um pede uma coisa. Então vamos por partes aqui. Beleza!?

No item a) queremos provar que

f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

sendo f , g e h funções deriváveis, usando a regra do produto. E ele pede pra gente fazer isso unsando duas vezes a regra do produto.

Então é isso que faremos. Mas a regra do produto fala sobre o produto entre duas funções.

Só pra gente lembrar, considere duas funções genéricas u e v . Assim:

u v ' = u ' v + u v '

Show, vamos aplicar essa regra aí duas vezes no nosso produto de funções e ver no que dá.

Já na letra b) queremos mostrar que

d d x f x 3 = 3 f x 2 f ' x

considerando o resultado do item " a " e o fato de que f = g = h .

Perceba quando dizemos que f x   está elevada ao cubo, isso siguinifica que temos uma multiplicação dela por ela mesma três vezes, sendo assim, podemos usar o que encontramos no item a).

E, finalmente, no item c) queremos derivar a função y = e 3 x = e x 3 usando o resultado do item " b " .

E veja que agora o que está ao cubo é a função e x , logo podemos generalizar o resultado do item b) pra derivar essa função ao cubo.

Bastante coisa, né. Mas prometo que vou te ajudar a desvendar cada um desses itens. Vem comigo!!!

Passo 2

Vamos começar com o item a).

queremos provar que

f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

sendo f , g e h funções deriváveis, usando a regra do produto.

Para isso, demos utilizar a Regra da Derivada do Produto duas vezes.

Primeiramente vamos separar um pouco essa função, entendendo o produto das funções f e g como se fosse uma única função. Assim:

f g ⋅ h ' = f g ' ⋅ h + f g ⋅ h '

Bom, mas ainda precisamos fazer essa derivada aqui, para encaixar:

f g '

Aplicando a regra do produto apenas nela, teremos:

f g ' = f ' g + f g '

Agora vamos encaixar esse resultado na expressão anterior:

f g ⋅ h ' = f ' g + f g ' ⋅ h + f g ⋅ h '

Aplicando a multiplicação distributiva, ficaremos com:

f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

E isso prova o que o enunciado nos disse.

Passo 3

Na letra b) queremos mostrar que d d x f x 3 = 3 f x 2 f ' ( x ) considerando o resultado do item " a " e o fato de que f = g = h .

Bem, nós vimos no item a) que:

f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

Considerando f = g = h a igualdade fica:

f f f ' = f ' f f + f f ' f + f f f '  

Que pode ser escrita com:

    f 3 ' = 3 f 2 f '

ou o mesmo que:

d d x f x 3 = 3 f x 2 f ' ( x )

(c.q.d.) = > “Como queríamos demonstrar”.

Passo 4

Já na letra c) queremos derivar a função y = e 3 x = e x 3 usando o resultado do item " b " .

Perceba que aqui podemos entender que

f x = e x

Então:

d d x f x 3 = 3 f x 2 f ' x

Será:

  d d x e x 3 = 3 e x 2 e x '

  d d x e x 3 = 3 [ e 2 x ] ( e x ) = 3 e 3 x

E prontinho. Nossa missão foi cumprida.

Resposta

Demonstração

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15. Diferenciey = sec theta tan theta
15. Diferenciey = x sin x cos x
12. Diferenciey = (tan x - 1)/(sec x)