Enunciado

Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha ∫ C y   d x + x   d y + x y z   d z não é independente do caminho.

Passo 1

Para ser independente do caminho, tem que ser conservativo e de acordo com o exercício 27, se uma função vetorial com três componentes for conservativa

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x                     ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x                     ∂ Q ∂ z = ∂ R ∂ y

Para provarmos que F = y ,   x ,   x y z não é conservativo, basta que usemos uma das comparações que tenha a derivada parcial de R , utilizando a segunda

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z y = 0

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x x y z = y z

Como ∂ P ∂ z ≠ ∂ R ∂ x , F não é conservativo e a integral de linha depende do caminho escolhido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja, F r = c r r 3 para alguma constante c , onde r = xi + yj + zk . Determine o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto P
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = x e yj + y e zk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = x 2 y zi + x y 2 zj + x y z 2k
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = ln ⁡ x , ln ⁡ ( x y ) , ln ⁡ ( x y z )
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 xi + yj + zk