Enunciado

Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r   como função de θ   em coordenadas cartesianas.

r = - 2 sen ⁡ θ

Passo 1

Então meu querido e amado estudante, pronto para mais uma resolução?

Aqui a gente precisa esboçar a curva dada, porém essa curva é dada em coordenadas polares, então o que a questão quer que a gente faça é tratar ela como se ela fosse em coordenadas cartesianas.

É como se a função fosse na verdade:

y = - 2 sin ⁡ x

Para resolver essa atividade eu vou utilizar o GeoGebra, para a gente visualizar melhor o que ocorre.

Depois que gerarmos esse gráfico, da mudança de variável, vamos passar a nossa curva que era em função de r e θ para coordenadas cartesianas de fato, com a relação:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 2

No Painel do GeoGebra, o que nós iremos fazer é plotar o gráfico dessa forma:

Agora a gente vai encontrar a equação da nossa figura de fato em coordenadas cartesianas.

Passo 3

A gente tem que:

r = - 2 sin ⁡ θ

Multiplicando ambos os lados por r :

r 2 = - 2 r sin ⁡ θ

Lembre-se que:

r 2 = x 2 + y 2

E

r sin ⁡ θ = y

Então:

x 2 + y 2 = - 2 y

x 2 + y 2 + 2 y = 0

Adicionando 1 em ambos os lados da equação:

x 2 + y 2 + 2 y + 1 = 1

x 2 + y + 1 2 = 1 2

Temos então um círculo centrado em 0 , - 1 e raio 1 . Podemos ver abaixo o gráfico da nossa figura:

Resposta

x 2 + y + 1 2 = 1 2

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