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Use a Fórmula 10 para fazer o gráfico das funções dadas em uma mesma tela. Como se relacionam esses gráfico?

y = ln ⁡ x ,   y = log 10 ⁡ x , y = e x , y = 10 x

Passo 1

Bom, a fórmula 10 é, na real, a fórmula da mudança de base do logaritmo:

log a ⁡ b = ln ⁡ a ln ⁡ b

Ao invés do logaritmo natural, poderíamos usar um logaritmo com uma outra base, desde que seja a mesma base para o numerador e para o denominador. Vamos usar o logaritmo natural porque temos a tabela de valores, e fica mais fácil o cálculo então.

Passo 2

Colocando as funções nas fórmulas, temos:

y = log 10 ⁡ x

= ln ⁡ x ln ⁡ 10

Aqui, para calcular o valor de ln ⁡ 1,5 podemos usar manipulação dos números, utilizando as propriedades dos logaritmos, ou utilizar uma calculadora, depende da precisão que o exercícios nos pede. Como queremos o gráfico dessa função apenas, podemos fazer um arredondamento, utilizando apenas a tabela do logaritmo natural:

Assim:

ln ⁡ x ln ⁡ 10 =

ln ⁡ x ln ⁡ 2 * 5 =

ln ⁡ x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 5 =

ln ⁡ x 0,69 + 1,61 =

ln ⁡ x 2,3

Assim, fica fácil substituir uns valores de x e descobrir alguns pontos. Depois é só ligar pensando no “molde” da função do logaritmo.

Passo 3

Beleza, agora que temos as nossas funções, podemos plotar elas em um mesmo gráfico, como o pedido:

Aqui, podemos ver que as funções e x e ln ⁡ x são simétricas em relação à bissetriz, reta y = x .

O mesmo acontece com log 10 ⁡ x ≈ ln ⁡ x 2,3       e 10 x .

Isso indica que as funções são inversas!

Passo 4

Resposta

As funções são inversas.

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