Enunciado

A fórmula C = 5 9 ( F - 32 ) , onde F ≥ - 459,67 , expressa a temperatura C em graus Celsius como uma função da temperatura F em graus Fahrenheit. Encontre uma fórmula para a função inversa e interprete-a. Qual o domínio da função inversa?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma fórmula para a função inversa de:

C = 5 9 F - 32

Pra definir seu domínio e interpretá-la. Sabendo que ela expressa uma temperatura C em graus Celsius como uma função da temperatura F em graus Fahrenheit, onde F ≥ - 459,67 .

Pra isso, vamos seguir o passo a passo para encontrar a inversa de uma função:

O domínio de uma função são os valores de x para que f ( x ) esteja definida. E pra definir o domínio fazemos o pensamento inverso: pensamos pra quais x a função não existe.

Passo 2

Bom, vamos primeiro encontrar a fórmula para a função inversa.

Resumidamente, tudo o que temos que fazer é isolar a variável F . Então vamos fazer isso:

C = 5 9 F - 32

Aplicando a distributiva no produto:

C = 5 F - 160 9

Multiplicando os dois lados por 9 :

9 C = 5 F - 160

5 F = 9 C + 160

E isolando F , temos:

F = 9 C + 160 5

Pronto, essa é a nossa função inversa! Simples!

E como as variáveis aqui tem um significado muito estabelescido, a gente não pode trocar o nome como as vezes fazemos com x e y .

Passo 3

Beleza, mas o que ela representa?

A função nos dá a temperatura em graus Fahrenheit, certo? Então, tendo a temperatura em Celsius, podemos utilizar essa fórmula para a transformação da unidade de temperatura.

Enquanto a função inicial converte de Fahrenheit pra Celsius, sua inversa converte de Celsius pra Fahrenheit.

Passo 4

Bom, sobre o domínio, temos que lembrar que, na função inversa, o domínio de f se torna a imagem e a imagem se torna o domínio. Repare nesse exemplo:

Vamos então achar a imagem da função C , que vai ser justamente o domínio da sua função inversa F .

C = 5 9 F - 32

Como C ela é crescente e “começa” em F = - 459,67 , ela atinge o seu menor valor nesse ponto. Ela também não é limitada, a sua imagem vai até o infinito.

Vamos, então, calcular C para esse valor mínimo:

C ( - 459,67 ) = 5 9 - 459,67 - 32

C ( - 459,67 ) = - 273,15

Assim, a imagem de C é C ≥ - 273,15 . E consequentemente, é o domínio da função inversa F .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

F = 9 C + 160 5

C ≥ - 273,15

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