Enunciado

  1. Use a fórmula no Exercício 69(b) para encontrar a curvatura da parábola y = x 2 no ponto ( 1,1 ) .
  2. Em que ponto essa parábola tem curvatura máxima?

Passo 1

  1. Queremos encontrar a curvatura da parábola y = x 2 . Para facilitar, vamos usar uma parametrização, chamando x = t , então y = t 2
  2. Lembrando a fórmula da curvatura: k = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

    Precisamos achar a curvatura em ( 1,1 ) . Quando x = 1 ,     t = 1

    Então:

    d x d t = 1

    d 2 x d t 2 = 0

    d y d t = 2 1 = 2

    d 2 y d t 2 = 2

    Substituindo na fórmula de k :

    k = 1.2 - 2.0 1 2 + 2 2 3 2 = 2 5 3 2 ≈ 0,18

    Passo 2

  3. Queremos agora encontrar em qual ponto essa parábola tem curvatura máxima. Ainda vamos usar a parametrização   x = t , y = t 2

d x d t = t

d 2 x d t 2 = 0

d y d t = 2 t

d 2 y d t 2 = 2

Substituindo esses valores na fórmula da curvatura, ficamos com:

k = t . 2 - 2 t . 0 t 2 + 2 t 2 3 2 = 2 t 5 t 2 3 2 = 2 t 5 3 2 t 3 = 2 5 3 2 . 1 t 2

Então, a curvatura é máxima quando 2 5 3 2 . 1 t 2 é máxima

E 2 5 3 2 . 1 t 2 é máxima quando 1 t 2 é máxima

1 / t 2 é máximo quando t 2 é mínimo

t 2 é mínimo quando t = 0

Então, a curvatura é máxima quando t = 0 , e quando isso acontece, nós estamos no ponto

x = 0 ,   y = 0 2 = 0

O ponto de curvatura máxima é ( 0,0 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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