Enunciado

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ - 2 / 3 - 2 / 3 d y y 9 y 2 - 1

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a nossa função.

1 y 9 y 2 - 1 = 3 ( 3 y ) 3 y 2 - 1

Agora, vamos fazer uma mudança de variável. Se fizermos 3 y = u , temos 3   d y = d u . Fazendo esta substituição na integral, teremos:

∫ 3   d y ( 3 y ) 3 y 2 - 1   = ∫ d u u u 2 - 1

Passo 3

Agora chegamos a uma integral que, a princípio, não conseguimos calcular. Entretanto, nós já obtivemos este integrando a partir da derivada de uma função. Lembram desta função? Ela é, nada mais e nada menos que a função sec - 1 ⁡ u , uma função trigonométrica inversa que já estudamos anteriormente. Desta forma, temos a seguinte derivada:

sec - 1 ⁡ u ' = 1 u u 2 - 1

Logo, acabamos de verificar que a primitiva da nossa função é sec - 1 ⁡ u . Sendo assim,

∫ d u u u 2 - 1 = sec - 1 ⁡ u + k

Cuidado para não esquecerem da constante k , afinal, a integral resolvida acima foi uma integral indefinida! Agora, só precisamos voltar para a nossa variável inicial y . Como a mudança que fizemos foi u = 3 y , temos:

sec - 1 ⁡ u + k = sec - 1 ⁡ 3 y + k

Passo 4

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ - 2 / 3 - 2 / 3 d y y 9 y 2 - 1 = sec - 1 ⁡ 3 y - 2 / 3 - 2 / 3

∫ - 2 / 3 - 2 / 3 d y y 9 y 2 - 1 = sec - 1 ⁡ - 2 - sec - 1 ⁡ - 2

∫ - 2 / 3 - 2 / 3 d y y 9 y 2 - 1 = - 3 π 4 - - 2 π 3

Logo,

∫ - 2 / 3 - 2 / 3 d y y 9 y 2 - 1 = - π 12

Resposta

∫ - 2 / 3 - 2 / 3 d y y 9 y 2 - 1 = - π 12

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