Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 67
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla
Passo 1
Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.
Vamos começar por entender a nossa região D. Como ela é uma região retangular simétrica em torno do eixo e do eixo . Portanto, caso exista alguma função ímpar dentro da nossa integral, o seu resultado será 0.
Analisando as funções e , percebemos que elas são funções ímpares! Logo, o resultado final da sua integração será 0! Portanto, a integral da nossa questão pode ser reescrita por:
Passo 2
Para podermos resolver a questão, precisamos identificar que sólido é este que estamos trabalhando, para assim relacionar a integral com o seu volume. Se fizermos , obtemos uma superfície cilíndrica!
Este cilindro pode ser visualizado abaixo:
Portanto, o volume dele será dado pela área da base (que está no plano ) pela altura, que está ao longo do eixo . Portanto,
Logo,