Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A

D = - a , a × - b , b

Passo 1

Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Vamos começar por entender a nossa região D. Como ela é uma região retangular simétrica em torno do eixo x e do eixo y . Portanto, caso exista alguma função ímpar dentro da nossa integral, o seu resultado será 0.

Analisando as funções f x = a x 3 e g y = b y 3 , percebemos que elas são funções ímpares! Logo, o resultado final da sua integração será 0! Portanto, a integral da nossa questão pode ser reescrita por:

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A = ∬ D a 2 - x 2 d A

Passo 2

Para podermos resolver a questão, precisamos identificar que sólido é este que estamos trabalhando, para assim relacionar a integral com o seu volume. Se fizermos z = a 2 - x 2 , obtemos uma superfície cilíndrica!

Este cilindro pode ser visualizado abaixo:

Portanto, o volume dele será dado pela área da base (que está no plano x z ) pela altura, que está ao longo do eixo y . Portanto,

V o l u m e = A b a s e ⋅ A l t u r a

V o l u m e = π a 2 2 ⋅ 2 b = π a 2 b

Logo,

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A = π a 2 b

Resposta

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A = π a 2 b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ T s e n 4 ( x + y )d A , onde T é o triângulo delimitado pelas retas y = 0 , y = 2 x e x = 1 .
Utilize a simetria para calcular ∬ D 2 - 3 x + 4 yd A , onde D é a região delimitada pelo quadrado com vértices ( ± 5,0 ) e ( 0 , ± 5 ) .
Calcule a integral ∬ D x 2t gx + y 3 + 4d A , onde D = x , yx 2 + y 2 ≤ 2 } . [Sugestão: explore o fato de que D é simétrica com relação a ambos os eixos.]
Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral. ∬ D yd A