Enunciado

a) Use o gráfico de

f x = 3 + x - 3 x

para estimar o valor de lim x → 0 ⁡ f ( x ) com duas casas decimais.

b) Utilize uma tabela de valores de f ( x ) para estimar o limite com quatro casas decimais.

c) Use as Propriedades dos Limites para encontrar o valor exato do limite.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar o gráfico da função f x = 3 + x - 3 x para estimar o valor do limite lim x → 0 ⁡ f ( x ) com duas casas decimais. Depois, devemos utilizar uma tabela de valores de f ( x ) para estimar o limite com quatro casas decimais. E por fim, devemos encontrar o valor exato do limite usando as propriedades dos limites.

Então, podemos usar um software ou uma calculadora gráfica para esboçar o gráfico de f ( x ) . Assim, podemos analisar os valores de x bem próximos de 0 e verificar para onde parece que a nossa função está convergindo.

Em seguida, vamos atribuir alguns valores de x , também bem próximos de 0 , calcular o valor de f ( x ) para cada um desses valores e construir uma tabela com ele. Dessa forma, vamos poder observar na tabela o valor que f ( x ) estará se aproximando à medida que x se aproxima de zero.

Por último, vamos calcular o limite usando as seguintes propriedades dos limites, de maneira a fugir da indeterminação 0 0 e aplicar o valor x = 0 na expressão.

Vamos lá!

Passo 2

(a) Vamos começar plotando o gráfico da função f x = 3 + x - 3 x no plano cartesiano, com o auxílio de um software. Assim, temos:

Vamos observar o que acontece quando x se aproxima do valor 0 , o valor pedido no limite:

lim x → 0 ⁡ f ( x )

Pela direita podemos ver que a função vai se aproximando cada vez mais do valor 0.29 , e o mesmo ocorre pela esquerda.

Então podemos ver que o valor da função quando x está se aproximando mais e mais de 0 , tanto pela direita quanto pela esquerda, é 0.29 .

Passo 3

b) Para estimar o limite através de uma tabela de valores de f ( x ) vamos atribuir valores de x bem próximos a 0 , e observar para qual valor eles convergem, vamos lá:

Pela tabela podemos observar que o valor do limite parece se aproximar de 0.2887 , considerando quatro casas decimais após a vírgula.

Passo 4

c) Agora vamos encontrar o valor exato do limite através das propriedades. Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ 3 + x - 3 x

Observe que apenas substituindo x = 0 na função, teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, temos que fugir dela. Para isso, vamos começar multiplicando tanto o numenador quanto o denominador pelo conjugado do numenador da expressão, que é 3 + x + 3 . Assim, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ 3 + x - 3 3 + x + 3 x 3 + x + 3

Aplicando a propriedade distributiva nos produtos:

lim x → 0 ⁡ ( 3 + x ) ∙ ( 3 + x ) + ( 3 + x ) ∙ ( 3 ) - ( 3 + x ) ∙ ( 3 ) - ( 3 ) ∙ ( 3 ) x 3 + x + x 3

lim x → 0 ⁡ 3 + x + ( 3 3 + x ) - ( 3 3 + x ) - 3 x ( 3 + x + 3 )

Simplificando, obtemos:

= lim x → 0 ⁡ 3 + x - 3 x ( 3 + x + 3 )

= lim x → 0 ⁡ x x ( 3 + x + 3 )

Ainda dá pra simplificar, eliminando o termo x que aparece tanto no numerador quanto no denominador:

lim x → 0 ⁡ 1 3 + x + 3

Passo 5

Agora vamos usar as propriedades do limite que nos dizem que o limite de uma divisão é igual a divisão dos limites e que o limite da soma é igual a soma dos limites (para o denominador):

lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ 3 + x + lim x → 0 ⁡ 3

Vamos agora tirar a raíz da função do denominador colocando o limite dentro da raiz, você vai ver que vai ficar mais simples resolver depois disso:

lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ 3 + x ⁡ + lim x → 0 ⁡ 3

Agora é só substituir o valor 0 na expressão e pronto!

= 1 3 + 0 ⁡ + 3

= 1 2 3

E encontramos o valor exato do nosso limite.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) 0.29

b) 0.2887

c) lim x → 0 ⁡ 3 + x - 3 x = 1 2 3

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