Enunciado

(a) Use um gráfico para conjecturar o valor do limite

l i m n → ∞ n 5 n !

(b) Use um gráfico da sequência na parte (a) para encontrar os menores valores de N que correspondam a ε = 0,1 e ε = 0,001 na Definição 2 .

Passo 1

(a) Galera, primeiro vamos olhar pro gráfico da sequência:

Observando, esse gráfico, parece que a sequência converge pra 0 , né mesmo? Então:

l i m n → ∞ n 5 n ! = 0

Passo 2

(b) De acordo com a Definição 2 , uma sequência a n tem limite L se, para cada ε > 0 , existir um inteiro correspondente N tal que, se n > N , então a n - L < ε . No nosso caso, L = 0 como visto no item (a), então a n - L = a n - 0 = n 5 n ! = n 5 n ! .

Agora olha esse gráfico:

Observando ele, dá um parecer que o menor valor possível de N correspondente a ε = 0,1 é 9 , pois n 5 n ! < 0,1 quando n ≥ 10 , mas 9 5 9 ! > 0,1 .

Agora olha esse outro gráfico:

Parece que, para ε = 0,001 , o menor valor possível de N é 11 , já que n 5 n ! < 0,001 quando n ≥ 12 .

Resposta

(a) l i m n → ∞ n 5 n ! = 0

(b) N = 9

N = 11

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Mostre que a sequência definida por a 1 = 2 ,a n + 1 = 1 3 - a n satisfaz 0a n ≤ 2 e é decrescente. Deduza que a sequência é convergente e encontre seu limite.
Se $1000 forem investidos a uma taxa de juros de 6% , contabilizados anualmente, depois de n anos o investimento valerá a n = 10001,06 n dólares.(a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência a n
Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura. a n = 1.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = - 3 n n !
Suponha que você saiba que a n é uma sequência decrescente e que todos os termos estão entre os números 5 e 8 . Explique por que a sequência tem um limite. O que você pode dizer sobre o valor do limit