Enunciado

Use um gráfico para dar uma estimativa da área da região que está sob a curva dada. A seguir, encontre a área exata.

y = 2   s e n   x - s e n   2 x , 0 ≤ x ≤ π

Passo 1

A questão pede para estimarmos a área sob a curva usando um gráfico e depois para calcularmos a mesma área usando integral. O esboço da região é

Podemos aproximar a área por um triângulo de base π e altura 2.6 . Assim,

A ≈ π ⋅ 2.6 2 ≈ 4.1

Passo 2

Agora vamos calcular a integral para obter o valor exato:

A = ∫ 0 π ( 2   s e n   x - s e n   2 x )   d x = 2 ∫ 0 π s e n   x   d x - ∫ 0 π s e n   2 x   d x

Assim,

A = 2   - cos ⁡ x 0 π - ∫ 0 π s e n   2 x   d x = 2 - - 1 + 1 - ∫ 0 π s e n   2 x   d x = 4 - ∫ 0 π s e n   2 x   d x

Para segunda integral, vamos tomar u = 2 x , de modo que d u = 2   d x . Assim,

A = 4 - 1 2 ∫ 0 2 π s e n   u   d u = 4

A integral de seno de 0 a 2 π é zero pois o cosseno terá o mesmo valor nos dois limites de integração.

Passo 3

Nossa estimativa foi 4.1 e o valor exato foi 4 .

Resposta

4

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