Enunciado

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função.

f x = e x ,     x < 0 x 2 ,     x ≥ 0 ,               a = 0

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado fornece uma função f e um ponto x = a e pede para justificarmos o motivo de f não ser contínua nesse ponto.

Relembrando, para uma função ser contínua em um ponto ela deve estar definida neste ponto e além disso, o valor da função neste ponto deve coincidir com o valor do limite (que deve existir). Desta forma, devemos calcular tanto o valor do limite como da função no ponto considerado e compará-los!!!

Passo 2

Primeiramente, em casos de continuidade devemos analisar o domínio da função que queremos analisar. Como tanto a exponencial como o polinômio x 2 não tem restrições quanto ao domínio, a função f está definida na reta real toda.

D f = R

Passo 3

Vamos calcular o limite de f quando x tende a a = 0 . Como a a função à direita de x = 0 é diferente da função à esquerda, devemos calcular os limites laterais. O limite à esquerda é:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ e x = e 0 = 1

O limite à direita é

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Os limites laterais são diferentes e, portanto, o limite não existe e deste modo a função não é contínua nesse ponto.

Passo 4

O esboço do gráfico da função é gerado utilizando GeoGebra:

Uma outra forma de se notar a descontinuidade de uma função é analisando o seu gráfico. A função é continua se não houver descontinuidades abruptas, como saltos, buracos, ou assíntotas verticais

Resposta

R: demonstração e esboço de gráfico.

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Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x = x 2 - 1 s ex ∈ Q - x 2 + 1s ex ∉ Q
Prove que f x = x n é contínua.
Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x = x - x ⟦ ⟧
f x = 2 x s ex ≤ 1 1 s ex1 é contínua em 1 ? Justifique.
Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contínua apenas em - 1 , 0 e 1 .