Enunciado

  1. Use o gráfico de f para encontrar um número δ tal que se 0 < x - 3 < δ então f x - 2 < 0,5

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos para mais uma resolução.

Aqui a gente tem a função f e utilizando o gráfico de f

Vamos encontrar um δ tal que se 0 < x - 3 < δ então f x - 2 < 0,5 . Isso significa que precisamos encontrar uma distância δ entre x e 3 para que nossa função f ( x ) esteja a uma distância 0.5 de 2 . É isso que se trata o limite e sua definição.

Pra fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Então, isso pode ser interpretado, como foi já comentado, como uma distância δ que x tem de a que faz com que nossa função esteja a uma distância ϵ do seu limite L .

O que vamos fazer aqui é procurar essas distancias por meio do gráfico.

Passo 2

Como f x - 2 < 0,5 , podemos retirar o modulo e reescrever da seguinte forma:

- 0,5 < f x - 2 < 0,5

Logo,

1,5 < f x < 2,5

Analisando o gráfico, podemos ver que nesse intervalo de f ( x ) , temos:

2,6 < x < 3,8     ( i )

Para o δ , temos:

x - 3 < δ

Novamente retirando o modulo,

- δ < x - 3 < δ  

3 - δ < x < 3 + δ     ( i i )

Passo 3

Agora vamos trabalhar com as equações i e ( i i ) .

1° caso: x > 2.6

3 - δ < x

Substituindo x :

3 - δ = 2,6

δ = 0,4

Então nosso intervalo fica o seguinte:

3 - δ < x < 3 + δ

3 - 0,4 < x < 3 + 0,4

Isto é,

2,6 < x < 3,4

Como está dentro do nosso intervalo, δ = 0,4

2° caso: x < 3.8

x < 3 + δ

3 + δ = 3,8

δ = 0,8

Então nosso intervalo fica o seguinte:

3 - δ < x < 3 + δ

3 - 0,8 < x < 3 + 0,8

Isto é,

2,2 < x < 3,8

Esse valor de δ não serve, pois temos o 2,2 está fora do intervalo, então ficamos com δ = 0,4

Resposta

δ = 0,4

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