Enunciado

Foi pedido a um torneiro mecânico é que fabricasse um disco de metal circular com área de 1000 cm².

  1. Qual o raio do disco produzido?
  2. Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de ± 5 cm² na área do disco, quão próximo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?
  3. Em termos da definição de ε , δ de lim x → a ⁡ f ( x ) = L , oque é x ? O que é f x ? O que é a ? O que é L ? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ ?

Passo 1

Olá, caro colega. Pronto para mais uma atividade?

Aqui a gente vai utilizar da definição de limites para resolvermos essa atividade.

Mas por que isso? Veja bem, temos aqui uma atividade em que temos uma tolerância, temos que estar dentro de um limite aceitável para que a nossa peça, nesse caso a área do disco, seja aceita.

Então a questão quer saber qual o limite para que se tenha essa tolerância:

A - 1000 ≤ 5

Para que a gente consiga resolver essa atividade, deveremos relembrar a definição precisa de limite, e compará-la com a nossa situação.

Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a , exceto possivelmente no própria a . Então dizemos que o limite de f ( x ) quando x tende a a é L , e escrevemos.

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ε > 0 haver um número δ > 0 tal que

Se

0 < x - a < δ

Então

f x - L < ε

Passo 2

  1. Primeiro a gente vai calcular o raio.
  2. Temos que a área é A = π r ² e que A = 1000 cm², então a gente pode substituir:

    π r 2 = 1000

    r = 1000 π = 17,8412

  3. Aqui a gente precisa analisar melhor. A gente tem uma tolerância na área do disco de ± 5 cm. Isso significa que a área do disco pode ser 5 cm ou 5 cm menor que 1000 .
  4. Temos então uma forma de representar isso:

    A - 1000 ≤ 5

    Utilizando as propriedades do modulo, o que implica em:

    - 5 ≤ A - 1000 ≤ 5

    Substituindo A = π r 2 :

    - 5 ≤ π r 2 - 1000 ≤ 5

    Somando 1000 em todos os termos:

    995 ≤ π r 2 ≤ 1005

    Deixando o r em evidência:

    995 π ≤ r ≤ 1005 π

    Realizando os cálculos das raízes:

    17,796 ≤ r ≤ 17,885

    Assim, temos que a diferença entre o raio ideal e o raio que torneiro pode controlar é:

    1000 π - 995 π = 0,0446

    E

    1005 π - 1000 π = 0,0445

    O número pelo qual podemos deixar r variar de modo a não ultrapassar 1005 ou ficar abaixo de 995 cm² seria aproximadamente 0,0445 cm.

    Passo 3

  5. Veja o que a gente fez:

A - 1000 ≤ 5

Agora compare com:

f x - L < ε

x é o raio, f x é a área pois aqui temos a variável e temos a função que contêm a nossa variável.

a é o raio a querer dado na letra (a), que vem da diferença entre o raio ideal do raio com a tolerância pretendida.

0 < x - a < δ

L é a área a querer dada ( 1000 )

ε   é a tolerância na área ( 5 )

e   δ é a tolerância do raio dado na letra (b), 0,0445 .

Resposta

(a) r = 17,8412

(b) Tão próximo quanto 0,0445 cm

(c) x é o raio, f x é a área, a é o raio a querer dado na letra (a), L é a área a querer dada ( 1000 ), ε   é a tolerância na área ( 5 ), e   δ é a tolerância do raio dado na letra (b)

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