Enunciado

Use um gráfico para estimar os valores aproximados das coordenadas x dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, use essa informação para estimar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por essas curvas.

y = e x ,     y = x + 1

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Nesse problema foi dada duas curvas e nosso objetivo é determinar os pontos em x onde essas curvas se intersectam e tambem queremos obter o volume do solido formado pela rotação da area entre essas curvas...

Parece complicado? 👀

Para obter os pontos de intersecção entre as curvas, podemos igualar as equações e verificar para quais valores de x a igualdade é satisfeita.

Já para obter o volume do solido podemos usar o método das cascas cilíndricas

V = ∫ b a 2 π x y 1 - y 2 d x

Veja só! 😉

Passo 2

Igualando as equações...

e x = x + 1

Esboçando o gráfico das curvas, temos

Pelo gráfico, as curvas se interceptam em x = 0 e em x = a ≈ 0.56 , com x + 1 > e x no intervalo ( 0 , a ) .

Assim, o volume do sólido obtido pela rotação da região sobre o eixo x é

V = 2 π ∫ 0 a x x + 1 - e x d x

Calculando a integral V

V = 2 π 2 x 5 2 5 + x 2 2 + e x - x e x 0 a

V = 2 π 2 a 5 2 5 + a 2 2 + e a - a e a

Se a ≈ 0.56 então

V ≈ 0.13

E aí! O que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

V ≈ 0.13 .

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