Enunciado

44- Use um gráfico para estimar os valores de θ para os quais as curvas r = 3 + s e n   5 θ e r = 6   s e n   θ se interceptam. Então estime a área que está dentro de ambas as curvas.

Passo 1

Pelo gráfico:

Estrelinha :3

E namoral, difícil dizer em que ângulo θ ela intercepta hahahah melhor usar outro que analisa essas duas funções em coordenadas cartesianas mesmo.

Onde temos os valores de ângulos em radianos iguais a:

x = 0.575   r a d

x = 2.567   r a d

Passo 2

A área entre os dois gráficos é a que está desenhada abaixo:

Onde as áreas vermelha e preta são as áreas de 6 s e n   θ (curva azul) indo de 0   r a d até 0.575   r a d (área preta) e indo de 2.567   r a d até 2.567 + 0.575   r a d .A área verde é a área de 3 + sin ⁡ 5 θ   indo de 0.575   r a d até 2.567   r a d . Isso pode ser visto pois entre esses dois ângulos a estrelinha fica abaixo do círculo e em outros o círculo que fica abaixo.

Porém elas são simétricas na reta vertical do plano cartesiano o que nos abre a possibilidade de escrever a fórmula da área da seguinte forma:

A = 2 × 1 2 ∫ 0 0.575 6   s e n   θ 2 d θ + 2 × 1 2 ∫ 0.575 π / 2 3 + s e n   5 θ 2 d θ

A = ∫ 0 0.575 36   s e n 2 θ d θ + ∫ 0.575 π 2 9 + 6 s e n   5 θ + s e n 2 5 θ d θ

Passo 3

Para fazer a integral de s e n 2 θ temos que saber que:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = cos ⁡ 2 θ

Logo:

2 s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Substituindo isso na integral temos:

A = 36 ∫ 0 0.575 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ + ∫ 0.575 π 2 9 + 6 s e n   5 θ + 1 - cos ⁡ 10 θ 2 d θ

Agora só resolver esse monstrinho.

A = 36 × 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ 0 0.575 + 9 θ - 6 5 cos ⁡ 5 θ + 1 2 θ - 1 20 s e n   10 θ 0.575 π / 2

A = 18 × 0.575 - 9   s e n 2 × 0.575 + 19 2 π 2 - 0.575

+ 6 5 cos ⁡ 5 × 0.575 - cos ⁡ π 2 + 1 20 s e n   10 × 0.575 - s e n 5 π

Essa contaralhada dá:

A = 10.41   u A

u A significa unidades de área.

Resposta

A = 10.41   u A

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