Enunciado

14.58. Mostre que o produto das intersecções com os eixos x,y e z de qualquer plano tangente à superfície x y z = c 3 é uma constante.

Passo 1

Para provar isso, vamos calcular um plano tangente para um ponto genérico x 0 , y 0 , z 0 , se o resultado for uma constante, significa que para qualquer ponto ( x , y , z ) o resultado é uma constante.

relembrando a equação do plano tangente

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E vamos reunir outras informações que a gente precisa

F x x 0 , y 0 , z 0 = y 0 z 0

F y x 0 , y 0 , z 0 = x 0 z 0

F z x 0 , y 0 , z 0 = x 0 y 0

Passo 2

Beleza agora temos nosso plano tangente.

y 0 z 0 x - x 0 + x 0 z 0 y - y 0 + x 0 y 0 z - z 0 = 0

Passo 3

Agora vamos resolver o item (b), a equação de uma reta normal.

x + 1 - 1 = y - 1 2

Resposta

a   - x + 2 y = 3 b x + 1 - 1 = y - 1 2

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Seja S a superfície de equação z = 2 - x 2 - x y + y 2 4 . b ) Escreva as equações da reta normal à S que é paralela à reta L .
Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal ao hiperbolóide de equação x 2 - 2 y 2 - 4 z 2 = 10 no ponto 4 ,- 1 ,1 .
Considere a curva C de intersseção das superfícies definidas de equações x 2 - 2 x z + y 2 z = 3 e 3 x y - 2 y z = - 2 . Determine:Os pontos do hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 0 onde o plano tangente é
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine a equação do plano tangente à S 1 em ( 1,1 , 1 ) .
15. Uma peça de metal, com formato de cone de equação z 2 - x 2 9 - y 2 = 0 ,z ≥ 0 deve ser apoiada numa haste de ponto P 0 = 9,4 , 5 , de modo que a haste fique perpendicular à superfície do cone.a)