Enunciado

  1. Use um gráfico para estimar os valores de máximo e mínimo absolutos da função com precisão de duas casas decimais.
  2. Use os cálculos para encontrar os valores de máximo e mínimo exatos

f x = x x - x 2

Passo 1

  1. Esboçando o gráfico, ficamos com
  2. Pelo gráfico, podemos ver que o ponto ( 0,75   ,   0,3248 ) é um ponto de máximo absoluto e os pontos ( 0,0 ) e ( 1,0 ) são os pontos de mínimo absoluto

    Passo 2

  3. Derivando e igualando a zero para encontrar os números críticos, ficamos com

f ' x = x - x 2 + x ⋅ 1 2 ⋅ x - x 2 - 1 2 ⋅ 1 - 2 x = x - 2 x 2 2 x - x 2 + x - x 2 = x - 2 x 2 + 2 x - 2 x 2 2 x - x 2 = 3 x - 4 x 2 2 x - x 2

f ' x = 3 x - 4 x 2 2 x - x 2

3 x - 4 x 2 2 x - x 2 = 0

3 x - 4 x 2 = 0

x 3 - 4 x = 0

x = 0   o u   3 - 4 x = 0

x = 0   o u   x = 3 4

Passo 2

(b)Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f ( 0 ) , f 3 4 e f ( 1 ) . Note que f 1 também será calculado pois o D o m f = [ 0,1 ] .

f 0 = 0

f 3 4 = 3 3 16 ≈ 0,3248

f 1 = 0

Então, f ( 3 / 4 ) ≈ 0,3248 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = f 1 = 0 são pontos de mínimo local.

Resposta

f ( 3 / 4 ) ≈ 0,3248 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = f 1 = 0 são pontos de mínimo local.

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